ELIMINASI
GAUSS, GAUSS-JORDAN, GAUSS-SEIDEL, SELISIH MAJU, SELISIH MUNDUR DAN SELISIH
PERTENGAHAN
Eliminasi Gauss
Penjelasan
Eliminasi
Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga
matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah
satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya
dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi
balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Kelebihan dan Kekurangan
Metode
ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap
Keuntungan
:
-
menentukan
apakah sistem konsisten
-
menghilangkan
kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka
-
ebih mudah
untuk memecahkan
kelemahan
:
-
memiliki masalah
akurasi saat pembulatan desimal
Contoh Soal :
Diketahui persamaan linear
x +
2y + z = 6
x +
3y + 2z = 9
2x + y +
2z = 12
Tentukan Nilai
x, y dan z
Jawab:
1
2 1
6
1
3 2 9
2
1 2 12
1
2 1 6
0
1 1 3
2
1 2
1
Baris ke-2 dikurangi baris ke-1
1
2 1 6
0
1 1 3
0
-3 0
0
Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1
1
1 1 6
0
1 1 3
0
0 3
9
Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2
1
2 1 6
0
1 1 3
0
0 1
3
Baris ke-3 dibagi dengan 3
Maka
mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x +
2y + z = 6
y + z =
3
z = 3
Kemudian
lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z =
3
y + 3 = 3
y = 0
x +
2y + z = 6
x + 0 + 3
= 6
x = 3
Jadi nilai
dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Eliminasi Gauss-Jordan
Penjelasan
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan.
Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan
Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi
Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.
Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan
bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara
eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row
echelon form).
Selain untuk
menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat
Metode
Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu
menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai
dari suatu variable yang bebas.
Eliminasi
Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih
sederhana
lagi. Caranya
adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga
menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai
salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Metode ini
digunakan untuk
mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum
untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin
dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan
operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks
A menjadi dalam
bentuk baris eselon yang tereduksi
Pengubahan
dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-
koefisien dari
sistem persamaan linier..
Sedangkan
langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :
1.Menukar
posisi dari 2 baris.
Ai ↔Aj
2.Mengalikan
baris dengan sebuah bilangan skalar positif.
Ai = k*Aj
3.Menambahkan
baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya
Algoritma
Metode Eliminasi Gauss adalah:
1.
Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n
2. Buat
augmented matrik [A|B] namakan dengan A
3. Untuk
baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :
Bila ya :
pertukarkan
baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti
perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa
penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan
4. Untuk
baris ke j, dimana j = i+1 s/d n
Kelebihan
dan Keuntungan :
Mengubah sistem
persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi
gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers
Contoh soal:
1.
Diketahui
persamaan linear
x +
2y + 3z = 3
2x +
3y + 2z = 3
2x + y +
2z = 5
Tentukan Nilai
x, y dan z
Jawab:
Bentuk
persamaan tersebut ke dalam matriks:
1
2 3 3
0
-1 -4 -3
1
2 3 3
0
-1 -4 -4
1
2 3 3
0
1 4 3
1
2 3 3
0
1 0 -1
1
2 0 0
0
1 0 -1
1
0 0 2
0
1 0 -1
0
0
1 1
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke
2. A = 3 1
5 2 Tentukan Nilai dari A-1 ?
(3)(2) – (5)(1)
-5 3
6 -
5
-5 3
1 -5 3
=
2 -1
-5 3
Eliminasi Gauss-Seidel
Penjelasan
Metode interasi
Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh
nilai-nilai yang berubah-ubah. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan
metode iterasi pada solusi persamaan tak linier .
Rumus dari
metode eliminasi Gauss-Seidel :
aii
Kekurangan
dan Kelebihan
Metode
eliminasi gauss-seidel digunakan untuk menyelesaikan SPL yg berukuran kecil
karena metode ini lebih efisien. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan
dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti
mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.
Kelemahan
dari metode ini adalah masalah pivot (titik tengah) yang harus benar–benar diperhatikan,
karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak
diperoleh hasil yang benar.
Contoh
Soal,
10 x 1 - x 2 + 2 x 3 =
6,
- X 1 +
11 x 2 - x 3 +
3 x 4 = 25,
2 x 1 - x 2 +
10 x 3 - x 4 =
- 11,
3 x 2 - x 3 +
8 x 4 = 15.
Pecahkan
nilai di atas menjadi x1,x2,x3,x4
x 1 = x 2 /
10 - x 3 / 5 + 3 / 5,
x 2 = x 1 /
11 + x 3 / 11 - 3 x 4 /
11 + 25 / 11,
x 3 = - x 1 /
5 + x 2 / 10 + x 4 /
10-11 / 10,
x 4 = - 3 x 2 /
8 + x 3 / 8 + 15 / 8.
Nilai
pendekatan awal (0,0,0,0)
x 1 = 3 / 5 = 0.6,
x 2 = (3 / 5) / 11 + 25/11 = 3 / 55 +
25/11 = 2,3272,
x 3 = - (3 / 5) / 5 + (2,3272) / 10 -
11 / 10 = - 3 / 25 + 0,23272-1,1 = - 0,9873,
x 4 = - 3 (2,3272) / 8 + (- 0,9873) /
8 + 15 / 8 = 0,8789.
Dihasilkan
iterasi 4 buah :
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
0,6
|
2,327
|
-0,987
|
0,878
|
1,03
|
2,036
|
-1,014
|
0,983
|
1,006
|
2,003
|
- 1,002
|
0.998
|
1
|
2
|
-1
|
0,999
|
Selisih maju
Penjelasan
Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi
secara langsung definisi differensial, yang dituliskan :
H
Atau:
H
Kelebihan dan kelemahan
Pengambilan
h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. Error metode selisih
maju sebesar :
E(f)
= -1/2 hf” (x)
Contoh soal :
Hitung
nilai nilai turunan f(x)=x2 , pada x0 =2, dan x1 =2.01, dengan h=0.1
Jawab
:
h
0.1
0,1
= 4,1
Hitung
nilai turunan dari f(x) = x2, pada x0 = 2, dan x1 = 2,0001, dengan h = 0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
= 4,0001
Selisih mundur
Penjelasan
Selisih
mundur hampir sama dengan selisih maju, terdapat perbedaan nya pada turunan
pertama, karena ini merupakan selisih mundur maka f0-f-1.
Metode selisih mundur dengan nilai x pada x0 dan x-h, dengan nilai dua titik :
(x-1, f-1) dan (x0,f0), maka f’(x0)
H
Atau
:
H
Kelebihan dan kelemahan
Pengambilan
h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. Error metode selisih
maju sebesar :
E(f)
= -1/2 hf” (x)
Karena
pada dasar nya metode selisih naju dan selisih mundur sama saja
Contoh soal :
hitung
nilai turunan dari f(x)= x2, pada x0=2, dan x-1= 1,9999, dengan h=
0,1
jawab
:
0,1
0,1
0,1
= 3,9
Hitung
nilai turunan f(x)= x2, pada x0=2, dan x-1 = 1,9999, dengan h =
0,0001
0,0001
0,0001
= 3,9999
Selsisih tengahan
Penjelasan
Metode
selisih tengah dengan nilai x di x+h dan x-h, dengan nilai dua titik : (x-1
,f-1 ) dan (x1,f1), maka f’(x0 ).
Karena h pada metode ini terdapat dua, maka dapat dituliskan sebagai berikut :
2H
Atau
:
2H
Kelebihan dan kelemahan
Pengambilan
h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. Error metode selisih
maju sebesar :
E(f)
= -1/6 hf” (x)
Contoh soal :
hitung
nilai turunan dari f(x)= x2, pada x-1=1,9, dan x-1= 2,01,
dengan h= 0,1
jawab
:
2*0,1
0,2
= 4
hitung
nilai turunan dari f(x)= x2, pada x-1=1,9999, dan x-1=
2,0001, dengan h= 0,0001
jawab
:
2* 0,0001
2,0001
2
* 10-4
= 4
No comments:
Post a Comment